由路径构成的全色模式

令 $H=(V_H,A_H)$ 为一个有向图（可能带有自环），令 $D=(V_D, A_D)$ 为一个无自环的多重有向图，并带有其弧的着色 $c: A_D \rightarrow V_H$。$D$ 的 $H$-路径是 $D$ 的一条路径 $(v_0, \dots, v_n)$，使得对于每个 $1 \le i \le n-1$，$(c(v_{i-1}, v_i), c(v_i,v_{i+1}))$ 都是 $H$ 的一条弧。对于 $u, v \in V_D$，如果 $D$ 中存在一条从 $u$ 到 $v$ 的 $H$-路径，我们称 $u$ 通过 $H$-路径到达 $v$。子集 $S \subseteq V_D$ 是 $D$ 的 $H$-吸收集，如果 $V_D-S$ 中的每个顶点都能通过 $H$-路径到达 $S$ 中的某个顶点；它是 $H$-独立的，如果 $S$ 中没有顶点能通过 $H$-路径到达 $S$ 中的另一个（不同的）顶点。$H$-核是 $V_D$ 的一个通过 $H$-路径独立且通过 $H$-路径吸收的子集。我们将 $\tilde{\mathscr{B}}_1$ 定义为这样的有向图 $H$ 的集合：任何 $H$-弧着色的锦标赛图都有一个通过路径 $H$-吸收的顶点；集合 $\tilde{\mathscr{B}}_2$ 由这样的有向图 $H$ 组成：任何 $H$-弧着色的有向图 $D$ 都有一个独立的、通过路径 $H$-吸收的集合；类似地，集合 $\tilde{\mathscr{B}}_3$ 是这样的有向图 $H$ 的集合：每个 $H$-弧着色的有向图 $D$ 都包含一个通过路径的 $H$-核。在本工作中，我们给出了 $\tilde{\mathscr{B}}_2$ 的刻画，并提供了 $\tilde{\mathscr{B}}_3$ 中有向图的结构性质，除了对一个三顶点有向图的分析外，这些性质确立了其刻画。