$p$-进Haar多分辨分析与伪微分算子

本文引入了{$p$-进多分辨分析(MRA)}的概念。我们讨论了一个“自然”的加细方程，其解（一个可加细函数）是单位圆盘的特征函数。该方程反映了单位圆盘的特征函数是p$个半径为$p^{-1}$的互不相交圆盘的特征函数之和这一事实。该加细方程生成了一个MRA。本文详细研究了$p=2$的情形。我们的MRA是实Haar MRA的2-进类似物。但与实数情形相反，生成我们Haar MRA的可加细函数是1周期的，这对于实可加细函数是绝不成立的。这一事实意味着，在${\cL}^2(\bQ_2)$中存在由同一Haar MRA生成的无穷多个不同的2-进正交小波基。本文描述了所有这些基。我们还通过一维MRA的张量积，构造了${\cL}^2(\bQ_2^n)$的多维2-进Haar正交基。推导了多维$p$-进小波作为伪微分算子特征函数的判据。我们还证明了这些小波是Taibleson多维分数算子的特征函数。这些事实为在应用中广泛使用我们的基创造了必要的先决条件。