$p$-进 Haar 多分辨率分析

本文引入了{\em $p$-进多分辨率分析 (MRA)} 的概念。我们使用一个“自然”的细化方程，其解（可细化函数）是单位圆盘的特征函数。该方程反映了单位圆盘的特征函数等于 $p$ 个半径为 $p^{-1}$ 的不相交圆盘的特征函数之和这一事实。文中详细研究了 $p=2$ 的情形。我们的 MRA 是实 Haar MRA 的 2-进类比。但与实数情形不同，生成我们 Haar MRA 的可细化函数是以 1 为周期的周期函数，而这在实可细化函数中从未发生。这一事实表明，在 ${\cL}^2(\bQ_2)$ 中存在由同一 Haar MRA 生成的无穷多个不同的 2-进正交小波基。所有这些基均被构造出来。由于 $p$-进伪微分算子与小波型基密切相关，我们的基可广泛应用于各种场景。