亏格 2 曲线雅可比上的 p 进 sigma 函数与高度

设 $C$ 为定义在数域 $K$ 上的亏格 $2$ 超椭圆曲线，在无穷远处有 Weierstrass 点 $\infty$，令 $J$ 为其雅可比，令 $\Theta$ 为关于 $\infty$ 的 theta 除子，$p$ 为任意素数。我们通过除子 $2\Theta$ 的 $p$ 进 Néron 函数类比，显式构造了 $p$ 进高度 $h_p\colon J(\overline{\mathbb{Q}})\to \mathbb{Q}_p$。我们利用除法多项式及 Blakestad 在 $J$ 形式群上 $p$ 进 sigma 函数的推广来定义此类 Néron 函数。我们证明在非阿基米德位 $v$ 处的 $p$ 进 Néron 函数 $\lambda_v$ 是除子 $\Theta$ 的对称 $v$ 进 Green 函数（à la Colmez）在适当迹映射下的像。我们借此将 $\lambda_v$ 和 $h_p$ 与局部和全局扩展 Coleman-Gross（以及因此 Nekovář）$p$ 进高度配对相关联。我们提供了实现的例子，包括一个素数 $p$ 大于 $10^6$ 的情形，并解释类似技术如何用于计算 $C$ 上第一类、第二类和第三类微分的 $p$ 进积分而与约化类型无关。作为应用，我们还给出了在某些亏格 $4$ 双超椭圆曲线上消失于有理点的显式二次 Chabauty 函数。