Littlewood-Schur 函数的重叠恒等式

我们的结果围绕一种我们称之为重叠的划分新运算展开。我们证明了所谓 Littlewood-Schur 函数的两个重叠恒等式。Littlewood-Schur 函数是 Schur 函数的推广，其研究由 Littlewood 引入。更具体地，由划分 $\lambda$ 索引的 Littlewood-Schur 函数 $LS_\lambda(X; Y)$ 是变量 $X \cup Y$ 中的多项式，且在 $X$ 和 $Y$ 各自上分别对称。第一个重叠恒等式将 $LS _\lambda(X; Y)$ 表示为对 $X$ 的子集的求和，而第二个重叠恒等式本质上将 $LS_\lambda(X; Y)$ 表示为对重叠等于 $\lambda$ 的划分对的求和。两个恒等式均通过对 Moens 和 Van der Jeugt 给出的 Littlewood-Schur 函数行列式公式应用拉普拉斯展开而导出。此外，我们给出了所有重叠等于划分 $\lambda$ 的划分对集合的两个可视化刻画。