三维空间形式的有向测地线空间中的外弹子球

设 $M_{\kappa }$ 为常曲率 $\kappa =0,1,-1$ 的三维空间形式，即欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$、球面 $S^{3}$ 或双曲空间 $H^{3}$。设 $S$ 为 $M_{\kappa }$ 中光滑、闭、严格凸的曲面。我们在 $M_{\kappa }$ 的有向完备测地线构成的四维空间 $\mathcal{G}_{\kappa }$ 上定义外弹子球映射 $B$，其台球桌为 $\mathcal{G}_{\kappa }$ 中由所有不与 $S$ 相交的有向测地线组成的子集。我们证明当 $S$ 为二次凸时 $B$ 是微分同胚。对于 $\kappa =1,-1$，$\mathcal{G}_{\kappa }$ 具有与 $\operatorname{Iso}(M_{\kappa })$ 的 Killing 形式相关联的 K\"{a}hler 结构。我们证明 $B$ 关于其基本形式是辛同胚，且 $B$ 可作为 Tabachnikov 在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中基于标准辛结构定义的外弹子球构造的类似物得到。我们证明对于 $\kappa =0,1,-1$，$B$ 不保持 $\mathcal{G}_{\kappa }$ 上与 $M_{\kappa }$ 上叉积相关联的基本辛形式。我们通过引入并讨论周期点的 holonomy 概念，开启了双曲情形下此外弹子球的动力学研究。