随机环境中一维弹道随机游走淬火慢化渐近行为的振荡

我们考虑随机环境中的一维随机游走（RWRE），其具有正速度 $\lim_{n\to\infty}\frac{X_n}{n}=v_\alpha>0$。Gantert 和 Zeitouni 证明了，如果环境同时具有正局部漂移和负局部漂移，那么对于 $x \in (0,v_\alpha)$，淬火慢化概率 $P_\omega(X_n < xn)$ 的衰减大约类似于 $\exp\{-n^{1-1/s}\}$，其中 $s > 1$ 为确定性常数。更准确地说，他们证明了 $n^{-\gamma} \log P_\omega( X_n < x n)$ 收敛于 $0$ 或 $-\infty$，取决于 $\gamma > 1-1/s$ 还是 $\gamma < 1-1/s$。在本文中，我们对此进行了改进，证明了 $n^{-1+1/s} \log P_\omega( X_n < x n)$ 几乎必然在 $0$ 和 $-\infty$ 之间振荡。此前，Gantert 仅在随机环境的一个非常特殊的情形下证明了这一点。