Fake mu求和函数的振荡结果

Mossinghoff、Trudgian和第一作者最近引入了一族称为"fake $\mu$'s"的算术函数，它们是满足以下条件的乘性函数：存在一个取值于$\{-1,0,1\}$的序列$(\varepsilon_j)_{j=1}^{\infty}$，使得对所有素数$p$有$f(p^j)=\varepsilon_j$。他们研究了fake $\mu$'s的比较数论结果，特别证明了$\varepsilon_1=-1$且$\varepsilon_2=1$的fake $\mu$'s的求和函数在$\sqrt{x}$尺度上的振荡结果。在本文中，我们建立了所有非平凡fake $\mu$'s的求和函数在$x^{1/2\ell}$尺度上的新振荡结果，其中$\ell$是依赖于$f$的正整数（"临界指数"）；当$\ell=1$时，这恢复了文献中的振荡结果。我们的工作还恢复了幂自由数和幂完全数指示函数的相关结果；我们将这些例子中应用的技术推广到所有fake $\mu$'s。