实值与遍历 $H^1$ 空间上的振荡不等式

设 $(x_n)$ 为一序列且 $\rho\geq 1$。对固定序列 $n_1<n_2<n_3<\dots$ 及 $M$，定义振荡算子 $$\mathcal{O}_\rho (x_n)=\left(\sum_{k=1}^\infty\sup_{\substack{n_k\leq m< n_{k+1}\\m\in M}}\left|x_m-x_{n_k}\right|^\rho\right)^{1/\rho}.$$ 设 $(X,\mathscr{B} ,\mu , \tau)$ 为一动力系统，其中 $(X,\mathscr{B} ,\mu )$ 为概率空间，$\tau$ 为从 $X$ 到自身的可测、可逆、保测点变换。\ 假设序列 $(n_k)$ 与 $M$ 为缺项序列。则我们对 $\rho\geq 2$ 证明如下结果：(i) 在 $\mathbb{R}$ 上定义 $\phi_n(x)=\frac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$。则存在常数 $C>0$ 使得对所有 $f\in H^1(\mathbb{R})$ 有 $\|\mathcal{O}_\rho (\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$。(ii) 令 $A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\tau^kx)$ 为遍历理论中通常的遍历平均。则对所有 $f\in H^1(X)$ 有 $\|\mathcal{O}_\rho (A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$。(iii) 若 $[f(x)\log (x)]^+$ 可积，则 $\mathcal{O}_\rho (A_nf)$ 可积。