$O(k \sqrt{k})$-色有向图中的定向树：Burr 猜想的次二次方界

1980 年，Burr 猜想每一个色数为 $2k-2$ 的有向图都包含任何阶数为 $k$ 的定向树作为子有向图。Burr 证明了色数 $(k-1)^2$ 足以满足条件，该结果在 2013 年被 Addario-Berry 等人改进为 $\frac{k^2}{2} - \frac{k}{2} + 1$。我们给出了 Burr 猜想的第一个次二次方界，证明了每一个色数为 $8\sqrt{\frac{2}{15}} k \sqrt{k} + O(k)$ 的有向图都包含任何阶数为 $k$ 的定向树。此外，我们为树形图提供了 $\sqrt{\frac{4}{3}} k \sqrt{k}+O(k)$ 的改进界，并为具有 $b$ 个块的路径提供了 $(b-1)(k-3)+3$ 的改进界，其中 $b\ge 2$。