求解由高斯幅值测量得到的二次方程的加权黎曼优化

本文探讨了广义相位检索问题，即从 $m$ 个无相位样本 $y_k = \left|<a_k,x>\right|^2$（其中 $k=1,2,...,m$，且 $a_k$ 为测量向量）中重建长度为 $n$ 的信号 $x$。该问题可转化为从线性样本 $\bm{y}=\mathcal{A}(\bm{X})\in\mathbb{R}^m$ 中恢复正半定秩为 $1$ 的矩阵 $\bm{X}=xx^*$，从而需要求解线性方程组的秩为 $1$ 的解。我们展示了若干现有相位检索算法，包括 Wirtinger Flow (WF) 和标准黎曼梯度下降 (RGD)，实际上是在黎曼上对该线性方程进行最小二乘拟合的秩-$1$ 矩阵，其上的度量不同。然而，这些度量仅允许通过 $\mathcal{A}$ 将秩-$1$ 矩阵在 $\mathbb{R}^m$ 中的嵌入保持距离较大且不保距，从而导致收敛因子较大的线性收敛。为加速收敛，我们在秩-$1$ 矩阵流形上建立一种新度量，促进秩-$1$ 矩阵通过 $\mathcal{A}$ 嵌入到 $\mathbb{R}^m$ 的近等距嵌入。提出一种基于该新度量的 RGD 算法，称为加权 RGD (WRGD)，用于解决相位检索问题。由于近等距性，我们证明了以谱方法初始化的 WRGD 算法可以较小的收敛因子线性收敛至底层信号 $x$。实验结果强有力地验证了我们算法相对于截断 Wirtinger Flow (TWF) 算法和标准 RGD 算法的高效与鲁棒性。