图中存在水母的 Ore 型条件

著名的 Dirac 定理指出，对于每个 $n\geq 3$，最小度 $\delta(G)\geq n/2$ 的每个 $n$ 顶点图 $G$ 都有一个 Hamilton 圈。当 $\delta(G)< n/2$ 时，这无法得到保证，但可以提供某些其他特定子图的存在性。Gargano, Hell, Stacho 和 Vaccaro 证明了每个满足 $\delta(G)\geq (n-1)/3$ 的连通 $n$ 顶点图 $G$ 包含一个生成 {\em 蜘蛛}（spider），即最多有一个度数至少为 $3$ 的顶点的生成树。后来，Chen, Ferrara, Hu, Jacobson 和 Liu 证明了一个更强（且精确）的结果：对于 $n\geq 56$，每个满足 $\delta(G)\geq (n-2)/3$ 的连通 $n$ 顶点图 $G$ 包含一个生成 {\em 扫帚}（broom），即通过将星图的中心连接到路径的一个端点而获得的生成蜘蛛。他们还证明了具有 $\delta(G)\geq (n-2)/3$ 及一些附加性质的 $2$-连通图 $G$ 包含一个生成 {\em 水母}（jellyfish），这是一个通过将星图的中心粘合到与该星图不相交的圈中的一个顶点上而获得的图。注意，每个生成水母都包含一个生成扫帚。本文的目标是证明一个精确的 Ore 型界，以保证生成水母的存在性：我们证明，如果 $G$ 是一个有 $n$ 个顶点的 $2$-连通图，使得每一对不相邻的顶点 $(u,v)$ 都满足 $d(u) + d(v) \geq \frac{2n-3}{3}$，那么 $G$ 有一个生成水母。作为推论，我们得到了 Chen 等人两个结果的加强：一个保证生成水母存在的最小度条件，以及一个保证生成扫帚存在的 Ore 型充分条件。这些推论对无限多个 $n$ 是紧的。我们证明的一个主要组成部分是对 Woodall 的跳跃引理（Hopping Lemma）的修改。