满足 Ore 型条件的图族中的泛圈性

设 $n \in \mathbb{N}$ 且 $n \geq 3$，并设 $\mathcal{G} = \{G_i:i\in [n]\}$ 为定义在公共顶点集 $V$ 上的 $n$ 个顶点图的族，该族中的图不必互不相同。若存在一个单射 $\phi: E(H) \to [n]$，使得对于每条边 $e \in E(H)$ 都有 $e \in E(G_{\phi(e)})$，其中 $|E(H)|\leq n$，则称具有顶点集 $V$ 的图 $H$ 在 $\mathcal{G}$ 中是\emph{彩虹}的。2020 年，Joos 和 Kim 证明了在 Dirac 型条件下 $\mathcal{G}$ 包含一个彩虹哈密顿圈。最近，Liu、Chen 和 Ma 通过用更一般的、涉及不相邻顶点度之和的 Ore 型条件替换 Dirac 型条件，推广了这一结果：若 $\sigma(\mathcal{G}) \geq n$，则 $\mathcal{G}$ 包含一个彩虹哈密顿圈，其中 Ore 型条件 $\sigma(\mathcal{G})$ 定义如下：$\sigma(\mathcal{G}) = \min\{d_p(u) + d_q(v) \mid uv \notin E(G_i) \text{ 对于某个 } i \in [n] \text{ 且对于所有 } p, q \in [n]\}。$ 本文中，在 Ore 型条件下，我们证明要么 $V$ 的每个顶点都包含在对于每个 $\ell\in[4,n]$ 的长度为 $\ell$ 的彩虹圈中，要么 $G_1=\cdots=G_n=K_{\frac{n}{2},\frac{n}{2}}$。作为推论，我们推导出 $\mathcal{G}$ 的彩虹泛圈性，这支持了 Bondy 提出的著名元猜想。此外，我们证明了在 Ore 型条件下 $\mathcal{G}$ 的彩虹顶点泛圈性，并提供了一个极值图族以表明该结果是紧的。