普通微分算子与校准微分算子之应用：曲线网格

我们研究由线性齐次微分算子 $D:J^kE\to F$ 定义的偏微分方程组 $D(j^ks)=0$ 的解空间 $s$，其中 $D$ 为任意阶数 $k\geq 1$ 的算子，称为“普通”(即在某种意义上对所有 $D$ 中的典型算子)，$E$ 和 $F$ 为沿 $n$ 维流形 $V$ 的向量丛，且假设 $D$ 在 $V$ 的任意点上都是满射的。在这些束的秩 $p$ 和 $q$ 的某个范围内（当 $k=1$ 时为 $p < q\leq np$），我们首先给出在一般点 $m$ 处解的原点的空间 ${\mathcal S}_m$ 维数的上界 $\pi(n,k,p,q)$。如果这些秩还满足某些积分条件（当 $k=1$ 时要求 $\frac{p(n-1)}{q-p}$ 为整数），我们称 $D$ 为“校准”的，随后我们构建一个在 $V$ 上秩为 $\pi(n,k,p,q)$ 的向量丛 $\mathcal E$，并赋予其一个张量关联 $\nabla$，其曲率是 ${\mathcal S}_m$ 维数无法达到其最大值的阻力。我们还证明了一个“集中定理”：相对于某个方便的基，$\nabla$ 的某个系数会系统地消失。在一个例子中，我们给出对于任意曲线 $d$ 网格在 $V$ 上的微分算子 $D$，其总是普通且校准的，且 ${\mathcal S}_m$ 为阿贝尔关系([L])的原点空间。于是，我们恢复了Damiano's上界([D1])用于该类网格的秩，并且我们可以在最一般的情况下定义该网格的“曲率”，已知对于 $n=2$ 时已知([BB]若 $d=3$，以及[Pa],[H1],[Pi1]用于任意 $d$），该曲率是该秩无法为最大值的阻力。