数的序数和

在本文中，我们考虑组合博弈的序数和，其中每个加数都是一个数，未必为规范形式。为此，我们给出了当基的字面形式具有某些性质时，数的序数之和的值的公式。这些公式包含了当基为规范形式时任意数的序数之和的值的闭式表达。我们的工作采用了 Clow 近期的一个结果，该结果给出了当 G 和 H 不具有相同字面形式时序数之和 G : K = H : K 的判据，并通过引入新记号、一种新颖的规则集 Teetering Towers，以及 Teetering Towers 中数的规范形式的新构造，扩展了该理论。由此，我们解决了确定数的序数和的值的问题，仅剩 Conway 的《On Numbers and Games》中出现的少数情况未解决；从而推广了若干现有结果与技术，包括 Berlekamp 的符号法则、van Roode 的有符号二进制数方法，以及 Carvalho、Huggan、Nowakowski 和 Pereira dos Santos 的近期工作。我们以一组与我们的结果相关的开放问题作结。