游戏作为递归 coalgebra：斜率 Nim 和的范畴视角

1901 年，Bouton 证明了 Nim 游戏的获胜策略由按位 XOR 运算给出，称为 nim-sum。但，这种奇怪的二进制运算为何有效？本文在此问题引导下，引入了组合游戏和nim-sum的范畴化重解释。本文使用的主要范畴工具是递归 coalgebra，它允许我们以简洁且精确的方式将游戏重新定义为“可进行递归计算的图”。对于游戏理论家，本文提供了将 impartial 游戏分解为更简单游戏并合成其上 quantities 的系统框架，从而概括了Conway加法的nim-sum规则。阅读本文前半部分只需了解范畴的基本概念。对于范畴论家，本文提供了一个表现良好的游戏范畴 $\mathbf{Game}$，其为局部 finitely 可呈现的对称 monoidal 闭合范畴，coalgebraic over $\mathbf{Set}$，并具备子对象分类器！本文有多种发展路径，最终章节列出七个开放问题。