两个旗流形与一条直线的乘积上的轨道与Bruhat序 I

设 $G=GL(n)$ 为 $n\times n$ 复一般线性群，$\mathcal{B}_{n}$ 为其旗流形。标准Borel子群 $B$（上三角矩阵群）作用于乘积 $\mathcal{B}_{n}\times \mathbb{P}^{n-1}$，仅有有限个轨道。在本文中，我们研究子簇 $\mathcal{B}_{n}\times \mathcal{O}_{i}$ 上的 $B$-轨道，其中 $\mathcal{O}_{i}$ 是 $\mathbb{P}^{n-1}$ 上包含 $\mathbb{C}^{n}$ 中第 $i$ 个标准基向量所确定直线的 $B$-轨道。对每个 $i=1,\dots, n$，我们在 $\mathcal{B}_{n}\times\mathcal{O}_{i}$ 上的 $B$-轨道与 $\mathcal{B}_{n}\times\mathcal{B}_{n}$ 中某些Schubert胞腔对之间构造了一个双射。我们还证明该双射可用于将此类 $B$-轨道上的Richardson-Springer单群作用理解为对称群在其自身上的经典单群作用。我们还发展了这些轨道的组合模型，并利用这些模型计算了序列 $\{|B\backslash(\mathcal{B}_{n}\times\mathcal{O}_{i})|\}_{n\geq 1}$ 和 $\{|B\backslash (\mathcal{B}_{n}\times \mathbb{P}^{n-1})|\}_{n\geq 1}$ 的指数生成函数。在本文的后续部分，我们将利用本文的结果在 $GL(n+1)$ 的旗流形 $\mathcal{B}_{n+1}$ 上的 $B$-轨道集合与 $\mathcal{B}_{n}\times\mathbb{P}^{n-1}$ 上的 $B$-轨道之间建立对应，并证明该对应保持闭包关系且保持单群作用。因此，借助我们在[CE]中的结果，$\mathcal{B}_{n}\times\mathbb{P}^{n-1}$ 上所有 $B$-轨道的闭包关系和单群作用均可通过Bruhat序来理解。