$Z \circ (2.O_8^+(2).2)$ 在 8 维中的轨道

结构为 $2.O_8^+(2)$ 的群有一个 8 次不可约表示，它可在 $\mathbb{Z}$ 及任意素域 $\mathbb{F}_p$ 上实现。该表示可扩充为一个结构为 $2.O_8^+(2).2$ 的群。任意子群 $Z \leq \mathbb{F}_p^{\times}$ 通过该模在 $\mathbb{F}_p$ 上的标量乘法作用。在这篇短文中，我们确定了对于哪些素数 $p > 7$ 以及哪些 $Z$，中心积 $Z \circ (2.O_8^+(2)$ 与 $Z \circ (2.O_8^+(2).2)$ 在 $8$ 维 $\mathbb{F}_p$-模上具有正则轨道。这项工作是由 K"ohler 与 Pahlings 题为“Regular Orbits and the $k(GV)$-Problem”的论文中的一处遗漏所引发，该论文在关于 $k(GV)$-问题的各种工作中被引用。