$p$ 进特殊正交群 $SO(3)_p$ 的几何

我们显式推导了所有素数 $p$ 对应的三维 $p$ 进特殊正交群的结构性质，并在此过程中给出了二维情形。特别地，从三维中唯一的定型二次型（在线性等价与重新缩放意义下）出发，我们证明 $SO(3)_p$ 的每个元素都是绕某轴的旋转。分析的一个重要部分是对二维中所有定型二次型的分类，从而描述绕任意固定轴的旋转子群，它们均为阿贝尔群且自然地由射影直线参数化。此外，我们发现对于奇素数 $p$，整个群 $SO(3)_p$ 允许用绕参考轴的旋转的 Cardano 角表示，这与实正交情形极为类似。然而，这仅对绕坐标轴旋转乘积的某些次序成立，且依赖于素数； furthermore，不存在一般的 Euler 角分解。对于 $p=2$，不存在 Euler 或 Cardano 分解。