合成 $p$-进量子比特：从 SO(3)$_p$ 的表示到纠缠与通用量子逻辑门

在$p$-进量子力学的背景下，我们研究了$p$-进量子比特的复合系统以及$p$-进控制的量子逻辑门。我们基于将单个$p$-进量子比特视为紧致$p$-进特殊正交群SO(3)$_p$的二维不可约表示的概念。我们证明，这些表示的分类归结为有限情形，因为它们都通过某个有限商群SO(3)$_p$模$p^k$进行分解。然后，我们处理了$p$-进量子比特的复合与纠缠问题，这对于量子信息处理的$p$-进表述至关重要。我们对SO(3)$_p$模$p$的表示进行了分类，并分析了从SO(3)$_p$模$p$提升而来的两个$p$-进量子比特表示的张量积。我们解决了此类系统的Clebsch-Gordan问题，揭示了耦合基分解为单重态和二重态。我们进一步研究了由这些稳定子系统产生的纠缠。对于$p=3$，我们从SO(3)$_p$模$p$的4维不可约表示构造了一组门，并证明了这组门对于量子计算是通用的。