Z^n 等距群中原子生成子群的作用轨道计算
群论
2020-03-13 v2 数据结构与算法
摘要
等距映射在自然界中无处不在；离散（量子化）对象的等距映射——抽象为 Z^n 的等距群，记为 ISO(Z^n)——在计算世界中是很重要的概念。本文中，我们计算各种等距不变性，它们在数学上是在各种等距子群作用 H ↷ Z^n, H ≤ ISO(Z^n) 下的轨道计算问题。这里的一个计算挑战关乎“无限”：一般而言，我们可能有无限子群作用于 Z^n，产生可能数量无限且大小无限的轨道。实践中，我们将轨道集（Z^n 的一个划分）限制到有限子集 Z ⊆ Z^n（Z 的一个划分），其中 Z 由应用领域或数据集事先指定。我们的主要贡献是在“原子生成子群”这一特殊情形下求解此受限轨道计算问题的高效算法——该新概念部分受可解释 AI 启发。原子性质是保持半直积结构的关键——我们利用的核心结构使算法优于通用方法。除算法优势外，我们的方法在许多子程序中支持并行计算实现，并可进一步从硬件加速中受益。此外，我们的算法对任意有限子集（Z）均高效，无论其形状（连续/离散、（非）凸）或位置如何；因此它是与应用无关的。
引用
@article{arxiv.1910.01317,
title = {Orbit Computation for Atomically Generated Subgroups of Isometries of $\mathbb{Z}^n$},
author = {Haizi Yu and Igor Mineyev and Lav R. Varshney},
journal= {arXiv preprint arXiv:1910.01317},
year = {2020}
}