logistic 扩散方程总种群规模优化的 bang-bang 性质与碎裂率

本文深入分析了标准 logistic-扩散模型总种群规模优化问题。该优化问题源于空间生态学研究，可归结为以下问题：假设某物种在区域内演化，何种资源分布方式能使平衡时种群规模最大化？近年来许多学者对此做出贡献。我们在此确立优化子的两个基本性质证明：其一为 bang-bang 性质（此前仅在若干强假设下得证），其二为最大化子的碎裂现象。此处我们以新的谱方法在一般情形下证明 bang-bang 性质。为证明优化子 bang-bang 特征所引入的技术可调整并推广至许多其他双线性最优控制优化问题，其中状态方程为半线性椭圆型。我们在结论部分予以讨论。关于最大化子的几何，我们给出当扩散率变小时最大化子 $BV$ 范数的爆破率：若 $\O$ 为正交多面体且 $m_\mu$ 为最优控制，则 $\Vert m_\mu\Vert_{BV}\gtrsim \sqrt{\mu}$。该结果证明依赖于极精细的能量论证。