具有地理约束的最优控制移动集合

本文关注一族几何演化问题，用于建模受地理障碍限制的区域 $V\subset \R^2$ 内入侵种群的空间控制。如果不施加控制，受污染集合 $\Omega(t)\subset V$ 会以单位速度向所有方向扩张。通过实施控制，每单位时间可以清除面积为 $M$ 的区域。给定初始集合 $\Omega(0)=\Omega_0\subseteq V$，我们研究了三个主要问题：(1) 存在一种容许策略 $t\mapsto\Omega(t)$，能在有限时间内根除污染，使得对于某个 $T>0$ 有 $\Omega(T)=\emptyset$。(2) 在最短时间内实现根除的最优策略。(3) 在给定时间区间 $[0,T]$ 上最小化受污染集合平均面积的策略。对于这些优化问题，我们证明了一个最优性的充分条件，以及几个必要条件。基于这些条件，我们在多种情况下显式地构造了最优的集合值运动 $t\mapsto \Omega(t)$。