正一元多项式 Poincaré 乘子 Curtiss 界的最优性

设 $f$ 为具有非零常数项的首一一元多项式。若对所有 $x\geq0$ 均有 $f(x)>0$，则称 $f$ 为正多项式。若 $f$ 的所有系数均非负，则 $f$ 显然为正。1883 年，Poincar\'e 证明了 $f$ 为正当且仅当存在首一多项式 $g$ 使得 $gf$ 的所有系数均非负。这样的多项式 $g$ 称为正多项式 $f$ 的 Poincaré 乘子。当然，人们希望找到次数最小的乘子。这自然提出了一个挑战：给出乘子最小次数的上界。1918 年，Curtiss 给出了这样一个界。Curtiss 还证明了当 $f$ 的次数为 1 或 2 时该界是最优（最小）的。容易证明当 $f$ 的次数更高时该界并非最优。Curtiss 界是一个仅依赖于 $f$ 的非实根的角度（辐角）的简单表达式。本文中，我们证明了 Curtiss 界在所有仅依赖于角度的界中是最优的。