尖峰协方差模型中特征值的最优收缩

我们表明，在一种常见的高维协方差模型中，损失函数的选择对最优估计有着深远影响。在基于尖峰协方差模型 (Spiked Covariance model) 并使用正交不变估计量的渐近框架下，我们证明了总体协方差矩阵的最优估计归结为设计一个最优收缩器 $\eta$，该收缩器对样本特征值进行逐元素作用。事实上，每个损失函数都对应一个唯一可容许的特征值收缩器 $\eta^*$，它优于所有其他收缩器。最优收缩器的形状由损失函数的选择决定，并且关键地取决于样本协方差矩阵的特征值和特征向量的不一致性。我们在文献中找到了用于协方差估计的 26 种损失函数，包括 Stein、Entropy、Divergence、Frechet、Bhattacharya/Matusita、Frobenius 范数、算子范数、核范数和条件数损失，并详细阐述了这些现象并推导出了最优特征值收缩器的闭式公式。