最优多维机制不可局部实现

我们引入局部性：多买方拍卖的一个新性质，它从形式上分离了最优单维多买方拍卖的简单性与最优多维多买方拍卖的复杂性。具体而言，考虑估值取自 $\vec{D}:=\times_i D_i$ 的买方的最优收益、贝叶斯激励相容拍卖，其中每个分布的支持大小为 $n$。该拍卖以估值剖面 $\vec{v}$ 为输入，产生物品分配与收费价格作为输出，记为 $Opt_{\vec{D}}(\vec{v})$。当每个 $D_i$ 为单维时，该映射是局部可实现的：定义每个输入 $v_i$ 需要 $\Theta(\log n)$ 比特，而 $Opt_{\vec{D}}(\vec{v})$ 仅使用来自每个 $D_i$ 的 $\Theta(\log n)$ 比特即可完全确定。这直接由 Myerson 的虚拟价值理论 [Mye81] 得出。我们的主要结果确立最优多维机制不可局部实现：为了确定某一特定输入 $\vec{v}$ 上的输出 $Opt_{\vec{D}}(\vec{v})$，仍须（本质上）知道整个分布 $\vec{D}$。形式上，来自每个 $D_i$ 的 $\Omega(n)$ 比特是必要的：（本质上）足以完整描述 $D_i$，且比定义输入 $v_i$ 所需的 $\Theta(\log n)$ 指数级地多。我们表明该现象在仅有两个投标者时即已出现，即便其中一个投标者为单维，而另一个仅为轻微多维。更具体地，该多维投标者取自 FedEx 设定中仅两天的“维度间”情形 [FGKK16]。我们的技术相当稳健：我们还确立具有预算约束的单维买方的最优机制也不可局部实现。这在仅有两个投标者时发生，即便其中一个无预算约束，而另一个的预算为公开。