协方差损失的最优最小化

设 $X$ 为取值于 $\mathbb{R}^{m}$ 的随机向量，且几乎必然有 $\|X\|_{2} \le 1$。对每个 $k\ge 3$，我们证明存在由 $\mathbb{R}^{m}$ 划分为 $k$ 个集合所生成的 $\sigma$ 代数 $\mathcal{F}$，使得 $$\|\operatorname{Cov}(X) - \operatorname{Cov}(\mathbb{E}[X\mid\mathcal{F}]) \|_{\mathrm{F}} \lesssim \frac{1}{\sqrt{\log{k}}}.$$ 该界关于隐常数而言是最优的，并改进了 Boedihardjo、Strohmer 和 Vershynin 先前给出的界。我们的证明给出了构造 $\mathcal{F}$ 的高效算法，并为 $k$-匿名或差分隐私合成数据提供了改进的精度保证。我们还建立了上述协方差损失最小化问题与统计物理中钉扎引理（pinning lemma）之间的联系，在 $X \in \{\pm 1\}^m/\sqrt{m}$ 几乎必然成立这一重要情形下给出了另一种（且简单得多）的算法证明。