多对称性性质的近似度量及其在量子爪子检测中的应用

爪子问题是理论计算机科学和密码学领域的核心问题。已知该问题的最优量子查询复杂度为 $\Omega\left(\sqrt{G}+(FG)^{1/3} \right)$，其中输入函数 $f\colon [F]\to Z$ 和 $g\colon [G]\to Z$。然而，该下界是在范围 $Z$ 足够大时（即 $|{Z}|=\Omega(FG)$）证明的。本文证明，当范围 $Z$ 更小时（只要 $|{Z}|\ge F+G$），该下界仍然成立。这意味着 $\Omega\left(\sqrt{G}+(FG)^{1/3} \right)$ 对此类范围是紧致的。此外，本文为更小的范围 $Z=[M]$（其中 $M\in [2,F+G]$）提供下界 $\Omega\left(\sqrt{G}+F^{1/3}G^{1/6}M^{1/6}\right)$，通过将爪子问题从 $|{Z}|= F+G$ 归约到更小范围来实现。该证明技术足够通用，可适用于任何 $k$ 对称性质（例如 $k$ 爪子问题），即作用于具有不同规模域且共用范围的 $k$ 个函数上的布尔函数 $\Phi$，且 $\Phi$ 对每个域上的置换以及对范围上的置换都保持不变。更具体地，本文通过使用多对称多项式的概念，将 Ambainis 的论证 [Theory of Computing, 1(1):37-46] 推广到多个函数的情况。