2-凯莱有向图的最优扩张与商图

给定一个有限阿贝尔群 $G$ 和一个基数为二的生成元子集 $A\subset G$，我们考虑凯莱有向图 $\Gamma=$Cay$(G,A)$。该有向图称为 $2$-凯莱有向图。$\Gamma$ 的一个扩张是一个 $2$-凯莱有向图 $\Gamma'=$Cay$(G',A)$，其中 $G<G'$，使得存在某个子群 $H<G'$ 满足有向图同构 Cay$(G'/H,A)\cong$Cay$(G,A)$。我们也称有向图 $\Gamma$ 为 $\Gamma'$ 的商图。注意生成元集不变。当一个 $2$-凯莱有向图的直径相对于其阶为最优时，称之为最优的。本文中我们定义两个过程 E 和 Q，分别生成 $2$-凯莱有向图的一类特定扩张与商图。这些过程被用于获得最优商图与扩张。证明了由过程 Q 从最优 $2$-凯莱有向图得到的商图也是最优的。刻画了由过程 E 从给定紧有向图生成的紧扩张的数量。也刻画了使过程 E 给出无穷多紧扩张的紧有向图。最后，这两个过程使得能够获得新的最优 $2$-凯莱有向图族，并改进文献中许多方案的直径。