非线性随机Fokker--Planck方程的最优控制
最优化与控制
2025-10-17 v2 概率论
摘要
我们考虑非线性随机Fokker--Planck方程的控制问题。该方程描述了受共同噪声源影响的非局部相互作用粒子分布演化。该系统由控制者控制漂移项，以实现最小化代价函数的目标。我们建立了状态方程的良好可解性，证明了最优控制的存在性，并提出一种随机最大原理(SMP)以提供控制问题的必要且充分的最优性条件。SMP中产生的伴随过程由非局部(半)线性逆向随机微分方程(SPE)给出，我们研究了其存在性和唯一性。我们还严格地将非线性随机Fokker--Planck方程的控制问题与描述代表性粒子运动的相应McKean--Vlasov SDE的控制联系起来。我们的工作扩展了现有关于Fokker--Planck方程控制的结果至非线性和随机动力学。特别是，我们利用Fokker--Planck方程的特殊结构获得的充分型SMP，即使在线性确定性情形下也是新的。我们通过政府干预金融系统的模型以及数值示例来说明我们的成果。
引用
@article{arxiv.2406.16512,
title = {Optimal Control of the Nonlinear Stochastic Fokker--Planck Equation},
author = {Ben Hambly and Philipp Jettkant},
journal= {arXiv preprint arXiv:2406.16512},
year = {2025}
}