Chaitin Omega在预言机计算中使用量的最优渐近界

Chaitin数Omega是一台通用前缀无关机（universal prefix-free machine）的停机概率，尽管它依赖于前缀无关机的底层枚举，但它总是图灵完全的（Turing-complete）。事实上可以观察到，对于每个可计算枚举（c.e.）实数，存在一个图灵泛函（Turing functional），Omega通过该泛函计算它，并且计算给定数的前n位所需的omega位数（即自变量n上的使用量）以上界为可计算函数$h(n) = n+o(n)$为界。我们刻画了在停机概率（即c.e.实数）的预言机计算中Chaitin omega使用量的渐近上界。我们证明，对于任意满足$h(n)-n$非递减的可计算函数$h$，以下两个条件等价：(1) $h(n)-n$是一个信息内容测度（information content measure），(2) 对于每个c.e.实数，存在一个图灵泛函，使得omega以被$h$界定的使用量计算该实数。我们还给出了关于从Omega计算c.e.集合的类似刻画，表明对于任意可计算非递减函数$g$，以下等价：(1) $g$是一个信息内容测度，(2) 对于每个c.e.集合$A$，Omega以被$g$界定的使用量计算$A$。给出了进一步结果以及与Solovay函数的一些联系。