将 Chaitin 停机概率 Ω 推广为无限维量子系统中的测量算子

本文提出将 Chaitin 停机概率 \Omega 推广为无限维量子系统中的测量算子。Chaitin 的 \Omega 定义为通用自限定图灵机 U 停机的概率，在算法信息论的发展中起着核心作用。在该理论中，定义给定有限二进制串 s 的程序大小复杂度 H(s) 有两种等价方式。标准方式中，H(s) 定义为 U 输出 s 的最短输入串的长度。另一种方式中，先引入所谓通用概率 m，然后在不参照程序大小概念的情况下将 H(s) 定义为 -log_2 m(s)。在数学上，量子测量中结果的统计在最一般设定下由正算子值测度（POVM）描述。基于 Pour-El 和 Richards 发展的 Banach 空间上可计算性结构理论，我们将通用概率推广为无限维量子系统中 POVM 的类似物，称为通用半-POVM。我们也给出用通用概率对 Chaitin 的 \Omega 数的另一刻画。然后，基于此刻画，我们提议将 \Omega 的推广定义为一个通用半-POVM 的 POVM 元素之和。讨论了该定义的有效性。随后，我们利用通用半-POVM 在无限维 Hilbert 空间中引入 H(s) 的算子版本 \hat{H}(s)，并研究其性质。