基于可压缩字符串的 Chaitin $\Omega$ 数新表示

1975 年，Chaitin 引入了他的 $\Omega$ 数作为随机实数的一个具体例子。实数 $\Omega$ 是基于最优前缀自由机 U 的所有停机输入集合定义的，该机器是用于定义程序大小复杂性概念的通用解码算法。Chaitin 通过发现 $\Omega$ 的二进制展开的前 n 位可以求解 U 对于所有长度不超过 n 的二进制输入的停机问题这一性质，证明了 $\Omega$ 是随机的。在本文中，我们引入了 Chaitin $\Omega$ 数的一种新表示 $\Theta$。实数 $\Theta$ 是基于所有可压缩字符串的集合定义的。我们研究了 $\Theta$ 的性质并证明 $\Theta$ 是随机的。此外，我们将 $\Theta$ 沿两个方向推广为带有实数 T>0 的 $\Theta(T)$ 和 $\bar{\Theta}(T)$，随后研究了它们的性质。特别地，我们证明了实数 $\Theta(T)$ 的可计算性为区间 (0,1) 中的实数 T 成为部分随机性不动点（即满足 T 的压缩率等于 T 的条件）提供了一个充分条件。