射影直线上的 Opers、Wronskian 关系与 Bethe Ansatz

众所周知,Gaudin 模型谱可用 Bethe Ansatz 方程的解来描述。Bethe Ansatz 方程出现的概念性解释由适当的$G$-opers给出:即具有额外结构的射影直线上的$G$-联络。事实上,Bethe Ansatz 方程的解由一种称为 Miura opers 的 opers 增强版本参数化;此处出现的 opers 仅具有正则奇点。Feigin、Frenkel、Rybnikov 与 Toledano Laredo 引入了 Gaudin 模型的非齐次版本;该模型纳入了附加的扭转因子,即$G$的李代数中的一个元素。他们给出了该模型的 Bethe Ansatz 方程,并从具有非正则奇点的 opers 角度给出了谱的几何解释。本文中,我们考虑一种新途径,通过称为 twisted Miura-Plücker opers 的 opers 进一步增强以及称为$qq$-系统的某非线性微分方程组,来研究非齐次 Gaudin 模型的谱。我们证明非齐次 Bethe Ansatz 方程的解与$qq$-系统的多项式解之间存在紧密关系,并借此构造了非齐次 Bethe Ansatz 方程解集合与非退化 twisted Miura-Plücker opers 集合之间的双射。我们进一步证明,只要满足某些组合条件,非退化 twisted Miura-Plücker opers 实为 Miura opers。