基于基本解人工数据和边界积分技术的域边界上的算子学习
机器学习
2026-01-19 v1
摘要
对于已知基本解的线性偏微分方程，本工作引入一种新型算子学习框架，仅依赖域边界数据（包括解值和法向导数），而非全域采样。通过集成先前开发的数学人工数据 (MAD) 方法，该方法强制物理一致性，所有训练数据均直接从目标问题的基本解合成，形成完全数据驱动的管道，无需外部测量或数值模拟。我们将该方法称为数学人工数据边界神经算子 (MAD-BNO)，其利用 MAD 生成的 Dirichlet-Neumann 数据对学习边界到边界的映射。训练完成后，可通过边界积分公式高效恢复任意位置的内部解，支持 Dirichlet、Neumann 和混合边界条件以及一般源项。该方法在二维拉普拉斯、泊松和 Helmholtz 方程的基准算子学习任务上得到验证，其中它在准确率上相当于或优于现有神经算子方法，同时显著缩短训练时间。该框架天然可扩展至三维问题和复杂几何形状。
引用
@article{arxiv.2601.11222,
title = {Operator learning on domain boundary through combining fundamental solution-based artificial data and boundary integral techniques},
author = {Haochen Wu and Heng Wu and Benzhuo Lu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.11222},
year = {2026}
}
备注
31 pages