算子可分解测度与随机差分方程

我们考虑如下卷积方程或等价的随机差分方程 $$\lam _k = \mu _k*\phi (\lam _{k-1}), k \in \Z \eqno (1)$$ 其中 $(\mu _k)$ 是 $\R ^d$ 上给定的概率测度双序列，$\phi$ 是 $\R ^d$ 上的线性映射。我们通过将过程 $(\mu _k)$ 实现为 $(\R ^d)^\Z$ 上的测度，并将随机差分方程重写为 $\lam = \mu *\tau (\lam )$ 来研究方程 (1) 的解——$(\R ^d)^\Z$ 上任何此类测度 $\lam$ 被称为具有余因子 $\mu$ 的 $\tau$-可分解测度——其中 $\tau$ 是 $(\R ^d)^\Z$ 上适当的加权移位算子。这使得人们能够在 $\tau$-可分解测度的框架下研究 (1) 的解。如果 (1) 的任何解都可以写成 $\lam _k*\phi ^k(\rho )$ 的形式（其中 $\rho$ 是 $\R ^d$ 上的某个概率测度），则称 (1) 的解 $(\lam _k)$ 为基础解。受算子可分解测度的分裂/分解定理的启发，我们探讨了当解存在时基础解的存在性问题，并通过建立 (1) 的基础解与 $(\R ^d)^\Z$ 上具有余因子 $\mu$ 的强 $\tau$-可分解测度之间的一一对应关系，给出了肯定的回答。我们还证明了基础解即是极值解，反之亦然。当噪声过程平稳以及当噪声过程具有独立的 $\ell _p$-路径时，我们提供了基于对数矩条件的 (基础) 解存在的充要条件。