主2-丛的运算全空间理论 I：运算几何框架

一个经典结果是，主丛全空间的几何相对于丛的结构群的作用，被编码于丛的运算（operation）之中；该运算是一组导子，包含 de Rham 微分以及所有竖直向量场的缩并和 Lie 导数，并满足六个 Cartan 关系。特别地，联络与规范变换可通过其受运算导子作用的方式定义。在本文——将常规范畴推广的两篇系列论文中的第一篇——中，我们针对结构严格2-群的作用，构造了严格主2-丛的运算全空间理论。借助交叉模 $(\mathsans{E},\mathsans{G})$ 表达该结构2-群后，此运算基于导出 Lie 群 $\mathfrak{e}[1]\rtimes\mathsans{G}$。在第二篇论文中，将给出基于此处建立的运算框架的 $2$-联络与 $1$- 和 $2$-规范变换理论的原创表述。