方格上的 operad 与马尔可夫性质

Damien Simon

方格上的 operad 与马尔可夫性质

概率论 2025-04-08 v3 统计力学数学物理范畴论 math.MP

作者: Damien Simon

摘要

任意维度格点上的马尔可夫过程在统计力学中无处不在；然而其代数描述仅在维度1时完整，此时线性代数提供了许多对概率方法形成补充的工具：例如，不变测度是生成器的特征向量。在更高维度，由于边界结构更为复杂，此类代数工具尚不存在。本工作填补了这一空白，在仅假设马尔可夫性质的前提下，给出了这些模型的崭新且完整的代数描述。为处理高维与高阶乘积，我们使用了operad的语言以聚焦于结合性以及代数乘积的几何解释。该形式化方法导出了马尔可夫过程边界条件的新参数化，并给出了具体计算。该参数化受物理学文献中矩阵乘积态的启发。其中，本文阐述的一个概率应用是利用Kolmogorov扩张在整格点上构造平移不变的无穷体积极限Gibbs测度；这为传统的大尺寸极限解析方法提供了一种新的替代工具。文中考虑了多种模型作为示例。

关键词

马尔可夫性质 operad 方格代数描述边界条件 Gibbs测度 Kolmogorov扩张

引用

@article{arxiv.2306.11126,
  title  = {Operads and the Markov Property on the square lattice},
  author = {Damien Simon},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2306.11126},
  year   = {2025}
}

备注

202 pages. Revised introduction. Some reorganizations to separate some notions

方格上的 operad 与马尔可夫性质

摘要

关键词

引用

备注

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