$[0,\infty)$ 与 $(-\infty,\infty)$ 的一一成分映射

Knaster连续统和螺线管是不可分解连续统的著名例子，其成分（极大弧连通子集）是直线的一一像。我们证明，本质上所有非平凡的（半）直线的一一成分像都是不可分解的。并且，如果 $f$ 是 $[0,\infty)$ 或 $(-\infty,\infty)$ 的一个一一映射，则存在一个不可分解连续统，使得 $X:=\text{ran}(f)$ 是其一个成分，当且仅当 $f$ 将所有最终段或初始段稠密地映射，且 $X$ 中弧的每个非闭序列在超空间 $K(X)\cup \{X\}$ 中有一个收敛子序列。我们还证明了欧氏 $3$ 维空间中保持成分的嵌入的存在性。证明附有插图和示例。