n 维渐近锥流形中一维渐近平面问题

设 $(M,g)$ 为维数为 $n\ge 2$ 的渐近锥黎曼流形，开启角为 $\alpha \in (0,\pi/2) \setminus \{\arcsin \frac{1}{2k+1}\}_{k \in \mathbb{N}}$，且具有正的渐近速率。在指数映射在每个点处proper的假设下，我们给出了在 $M$ 上求解一维渐近平面问题的解。精确地说，对于理想边界 $\partial_\infty M = \mathbb S^{n-1}$ 中的任意一对 antipodal 点，我们证明了存在一条具有渐近预定边界且 Morse 指数 $\le n-1$ 的测地线。