论唯一可配准网络

考虑一个具有$d$维欧几里得空间中$N$个节点以及这些节点的$M$个子集$P_1,\cdots,P_M$的网络。假设给定$P_i$中的节点在局部坐标系中被观测。配准问题是在已知$P_1,\cdots,P_M$及相应局部坐标的信息下，计算$N$个节点在全局坐标系中的坐标。若全局坐标能被唯一计算（模欧几里得变换），则称该网络是唯一可配准的。我们依据网络体图的刚性给出了网络唯一可配准的充要条件。对于平面网络，得到了一种特别简洁的唯一可配准刻画。进一步，我们证明体图的$k$-顶点连通性等价于网络二部对应图的拟$k$-连通性。结合刚性理论的结果，这帮助我们解决了Sanyal等人(IEEE TSP, 2017)近期提出的一个猜想，即对应图的拟$3$-连通性在二维下是唯一可配准的必要且充分条件。我们给出反例表明，尽管拟$(d+1)$-连通在任意维度下是唯一可配准的必要条件，但在三维及更高维中它并非充分条件。