论拓扑环中的无条件收敛级数

我们定义拓扑环 $R$ 为 Hirsch 环，如果对于 $R$ 中任意无条件收敛级数 $\sum_{n\in\omega} x_i$ 以及加法单位元 $0$ 的任意邻域 $U$，存在 $0$ 的邻域 $V\subseteq R$ 使得对任意有限集 $F\subset\omega$ 和任意序列 $(a_n)_{n\in F}\in V^F$ 有 $\sum_{n\in F} a_n x_n\in U$。我们在某些已知的拓扑环类中识别 Hirsch 环。为此，我们引入并发展了作用群上半范数的技术。我们特别证明：若拓扑环 $R$ 是局部紧的，或 $R$ 在零处有一个由开理想构成的基，或 $R$ 是 Banach 环 $C(K)$（其中 $K$ 为紧 Hausdorff 空间）的闭子环，则 $R$ 是 Hirsch 环。这意味着 Banach 环 $\ell_\infty$ 及其子环 $c_0$ 和 $c$ 是 Hirsch 环。我们还证明了对每个 $p\in[1,2]$，Banach 环 $\ell_p$ 是 Hirsch 环。另一方面，对任意不同的数 $p,q\in[1,\infty]$，交换 Banach 环 $\ell_p\oplus i\ell_q$ 不是 Hirsch 环。并且对任意 $p\in (1,\infty)$，Banach 环 $\ell_p$ 的连续自同态组成的（非交换）Banach 环 $L(\ell_p)$ 不是 Hirsch 环。我们不知道对 $p\in(2,\infty)$ 的 Banach 环 $\ell_p$ 是否为 Hirsch 环。