关于凸 $n$ 边形的典型三角剖分

设 $f_n$ 为对顶点取自 $n$ 边凸多边形 $P_n$ 的顶点的所有可能三角形赋予权重的函数。假设 ${\mathcal T}_n$ 是从 $P_n$ 的所有可能三角剖分中均匀采样得到的一个随机三角剖分。我们研究 ${\mathcal T}_n$ 中三角形权重之和，并给出该随机变量的均值与方差的一般公式。此外，我们考察了 $f_n$ 的若干有趣特例，在其中获得了权重之和生成函数的显式形式。例如，除其他结果外，我们对已有结论如 ${\mathcal T}_n$ 中固定顶点的度和耳的数量给出了新的证明，并对“蓝色”角的数量以及固定顶点处角度分布的细化信息提供了新结果。我们注意到，我们的方法是系统性的，可推广现有结果并应用于许多其他新例子。