关于格路径上的两种序

Markov 数是作为丢番图方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$ 的解出现的正整数。这些数已被充分研究并具有许多组合性质，同时也是长期未决的唯一性猜想的来源。2018 年，Çanakçı 和 Schiffler 证明了 Markov 数 $m_{\frac{a}{b}}$ 是从 $(0,0)$ 到 $(a,b)$ 的 Christoffel 路径所对应的某蛇形图的完美匹配数。基于这一对应，Schiffler 于 2023 年引入了格路径上的两种序。对任意路径 $\omega$，关联一个蛇形图 $\mathcal{G}(\omega)$ 和一个连分数 $g(\omega)$。序 $<_M$ 由 $\mathcal{G}(\omega)$ 上的完美匹配数给出，序 $<_L$ 由 $g(\omega)$ 的 Lagrange 数给出。本文中，我们解决了 Schiffler 的两个猜想。首先，我们证明路径 $\omega(a,b) = RR\cdots R UU \cdots U$ 是关于两种序 $<_M$ 和 $<_L$ 从 $(0,0)$ 到 $(a,b)$ 的所有格路径中的唯一最大元。然后我们利用该结果证明所有格路径上 $L(\omega)$ 的上确界恰为 $1+\sqrt5$。