在有限域上 Markoff 图中寻找路径的启发式次指数算法

Charles、Goren 与 Lauter [J. Cryptology 22(1), 2009] 阐释了如何利用扩展图构造哈希函数，其中在指定顶点间寻找路径是困难的。经典 Markoff 方程 $X^2+Y^2+Z^2=XYZ$ 在有限域 $\mathbb{F}_q$ 中的解集借助三个不交换的多项式自同构连接点，具有自然的三部图结构。这些图被猜想构成一个扩展图族，且 Fuchs、Lauter、Litman 与 Tran [Mathematical Cryptology 1(1), 2022] 建议在 CGL 构造中使用该 Markoff 图族。在本注记中，我们表明在理论与实际意义上，假设两个随机性假设，有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 Markoff 图中的路径问题可在次指数时间内求解，且在难度上大体等价于分解 $q-1$ 以及在 $\mathbb{F}_q^*$ 中求解三个离散对数问题。