关于真空爱因斯坦方程的适定性

真空爱因斯坦方程的柯西问题旨在寻找一个具有消失Ricci曲率$R_{\alpha,\beta}$和给定初始数据的时空半度量$g_{\alpha\beta}$。在调和规范条件下，方程$R_{\alpha,\beta}=0$被转化为一个拟线性波动方程组，称为约化爱因斯坦方程。爱因斯坦方程的初始数据是一个适当的Riemann度量$h_{ab}$和第二基本形式$K_{ab}$。约化爱因斯坦方程满足真空方程的一个必要条件是初始数据满足爱因斯坦约束方程。因此，数据$(h_{ab},K_{ab})$不能作为约化爱因斯坦方程的初始数据。先前在渐近平直时空情形下的结果提供了一类Sobolev空间中的约束方程解，而演化方程的初始数据属于另一类不同的Sobolev空间。我们工作的目标是解决这种不兼容性，并证明在调和规范下，真空爱因斯坦方程在一类Sobolev空间中是适定的。