论非线性摆的轨迹：基于幂级数的精确解析解
经典分析与常微分方程
2021-08-25 v2
摘要
我们给出了描述非线性单摆在所有时间下经历振动与转动运动的精确无穷幂级数解。尽管级数系数此前已在[V. Fairén, V. López, and L. Conde, Am. J. Phys 56 (1), (1988), pp. 57-61]中给出，但级数本身——以及为保证级数收敛并最大化收敛域所应选择的最优展开位置——未被考察，本文予以提供。凭借其作为椭圆函数的表示，摆函数具有位于复时间平面实轴外的奇点。这进而对实时间中的物理问题施加了收敛半径。通过将展开点选在轨迹顶端，幂级数可一路收敛至轨迹底端而不受这些奇点影响。在构造级数解时，我们用一种可推广至数学物理中其他非线性问题的替代方法重新推导了系数。此外，受[Barlow et al., Q. J. Mech. Appl. Math., 70 (1) (2017), pp. 21-48]中渐近逼近方法的启发，我们给出了摆级数的精确重求和，其在从轨迹顶端到轨迹底端的范围内一致地加速了级数收敛。我们还给出了用于计算摆轨迹周期的椭圆积分无穷级数表示的加速精确重求和。这使得在利用周期通过对称性将摆级数拓展至所有时间时能保持解析性。
引用
@article{arxiv.2108.09395,
title = {On the trajectory of the nonlinear pendulum: Exact analytic solutions via power series},
author = {W. Cade Reinberger and Morgan S. Holland and Nathaniel S. Barlow and Steven J. Weinstein},
journal= {arXiv preprint arXiv:2108.09395},
year = {2021}
}
备注
The only change in this version is the removal of LaTeX characters in the abstract