关于孤立奇点解消的拓扑

设 $Y$ 为具有孤立奇点的 $n$ 维复射影簇，$\pi:X\to Y$ 为奇点解消，$G:=\pi^{-1}{\rm{Sing}}(Y)$ 为例外轨迹。由分解定理可知，映射 $H^{k-1}(G)\to H^k(Y,Y\backslash {\rm{Sing}}(Y))$ 在 $k>n$ 时为零。假设该零化成立，我们给出了 $\pi$ 的分解定理的一个简短证明。其推论是，在所有可以直接证明该零化的情形中，$\pi$ 的分解定理均有简短证明。这些情形包括：$Y$ 为正规曲面，或 $\pi$ 是沿 ${\rm{Sing}}(Y)$ 对 $Y$ 进行吹胀且纤维光滑连通，或 $\pi$ 允许自然的 Gysin 态射。我们证明最后一个条件等价于映射 $H^{k-1}(G)\to H^k(Y,Y\backslash {\rm{Sing}}(Y))$ 对任意 $k$ 均为零，且拉回 $\pi^*_k:H^k(Y)\to H^k(X)$ 是单射。这揭示了分解定理与双变理论之间的联系。