关于 $\mathbb C^2$ 中某些凸椭球的 Suita 猜想

最近的研究表明，对于 $\mathbb C^n$ 中的凸域 $\Omega$ 和 $w\in\Omega$，函数 $F_\Omega(w):=\big(K_\Omega(w)\lambda(I_\Omega(w))\big)^{1/n}$（其中 $K_\Omega$ 是对角线上的 Bergman 核，$I_\Omega(w)$ 是 Kobayashi 指示物）满足 $1\leq F_\Omega\leq 4$。虽然下界是最优的，但关于上界的已知信息不多。一般来说，即使在数值上计算 $F_\Omega$ 也相当困难，迄今为止获得的最高值为 $1.010182\dots$。在本文中，我们针对椭球 $\Omega=\{|z_1|^{2m}+|z_2|^2<1\}$（其中 $m\geq 1/2$）及所有 $w$，以及针对 $\Omega=\{|z_1|+|z_2|<1\}$ 且 $w$ 位于对角线上的情况，给出了精确但相当复杂的公式。这些椭球的 Bergman 核此前已知，主要难点在于计算 Kobayashi 指示物的体积。结果表明，在第二种情况下，函数 $\lambda(I_\Omega(w))$ 不属于 $C^{3,1}$ 类。