关于 $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ 上四元数环的结构

本文研究了 $\left(\frac{a,b}{\Z{n}}\right)$ 的结构，即 $\Z{n}$ 上的四元数环。证明了若 $a \equiv b\equiv -1 \pmod{4}$，则这些环同构于 $\left(\frac{-1,-1}{\Z{n}}\right)$，否则同构于 $\left(\frac{1,1}{\Z{n}}\right)$。我们还证明了环 $\left(\frac{a,b}{\Z{n}}\right)$ 同构于 $\mathbb{M}_2(\Z{n})$ 当且仅当 $n$ 为奇数，且定义在 $\Z{n}$ 上的所有四元数代数相互同构当且仅当 $n \not \equiv 0 \pmod{4}$。